Abstract. Let {ar: r ∈ Nd} be a d-dimensional array of numbers for which the generating function F (z): = ∑ r arzr is meromorphic in a neighborhood of the origin. For example, F may be a rational multivariate generating function. We discuss recent results that allow the effective computation of asymptotic expansions for the coefficients of F. Our purpose is to illustrate the use of these techniques on a variety of problems of combinatorial interest. The survey begins by summarizing previous work on the asymptotics of univariate and multivariate generating functions. Next we describe the Morse-theoretic underpinnings of some new asymptotic techniques. We then quote and summarize these results in such a way that only elementary analyses are needed to check hypotheses and carry out computations. The remainder of the survey focuses on combinatorial applications, such as enumeration of words with forbidden substrings, edges and cycles in graphs, polyominoes, and descents in permutations. After the individual examples, we discuss three broad classes of examples, namely, functions derived via the transfer matrix method, those derived via the kernel method, and those derived via the method of Lagrange inversion. These methods have

Given a multivariate generating function F (z1 ; : : : ; zd ) = P ar 1 ;:::;r d z r 1 1 z r d d , we determine asymptotics for the coecients. Our approach is to use Cauchy's integral formula near singular points of F , resulting in a tractable oscillating integral. This paper treats the case where the singular point of F is a smooth point of a surface of poles. Companion papers G treat singular points of F where the local geometry is more complicated, and for which other methods of analysis are not known.

Nous montrons comment la formule bien connue de Yao, qui donne le nombre moyen de blocs `a lire lors d'une requete, connaissant la taille du r'esultat de cette requete, rentre dans le cadre des allocations al'eatoires, et peut etre mod'elis'ee par un mod`ele d'urnes ad'equat. Ceci nous permet tout d'abord d'obtenir une information compl`ete sur la loi de probabilit'e du nombre de blocs s'electionn'es, puis d'envisager diff'erentes extensions; nous traitons ici le cas o`u les blocs peuvent avoir des capacit'es distinctes. 1 Pr'esentation Un probl`eme fr'equemment rencontr'e lorsqu'il s'agit d'ex'ecuter une requete est d"evaluer ses performances, et tout d'abord, si on suppose connu le nombre de n-uplets qui seront s'electionn'es par la requete, d'avoir une id'ee du nombre de blocs qu'il faudra lire pour avoir le r'esultat, ind'ependamment de tout calcul interm'ediaire. Ce probl`eme a 'et'e abord'e d`es 1977 par Yao [16], qui a propos'e une formule pour le nombre moyen de blocs `a lire....