D. Husemoller, Elliptic Curves, Graduate Texts in Math., vol. 111, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1986.  Home/Search   Document Not in Database   Summary   Related Articles   Check

....la courbe modulaire X 1 (m) est de genre nul, et on peut donc exprimer les quantit es a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; a 6 a l aide des memes param etres. Des param etrisations de quelques courbes elliptiques d efinies sur Q et ayant un sousgroupe E(Q) tors donn e ont et e donn ees (voir par exemple [1], 2] 6] et [7] D autre part, toutes les isog enes des courbes elliptiques de sous groupe de torsion E(Q) tors de la forme Z=mZ, m = 2; 8 et Z=2Z ThetaZ=2mZ, m = 1; 2; 3, correspondant a des isog enies de noyaux form es par des points rationnels, ont et e explicit ees dans [6] ....

D. Husemoller, Elliptic Curves, Graduate Texts in Math., vol. 111, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1986.

....2 ; a 3 ; a 4 ; a 6 2 Z[s; t] Soit P = x; y) un point rationnel de E(s; t) d ordre m 2 f2; 3; 4; 5; 6; 7; 8g. Le choix de telles familles de courbes elliptiques est bas e sur trois remarques, concernant le discriminant Delta(s; t) de E(s; t) i) Si m 3, le th eor eme de Nagell Lutz (voir [8] ou [14] implique que 4 Delta(s; t) est divisible par (2y a 1 x a 3 ) 2 . ii) Le discriminant s ecrit sous la forme Delta(s; t) f(s; t) m g(s; t) avec f; g 2 Z[s; t] iii) Si on d esigne par N 0 (s; t) le conducteur de E(s; t) alors il y a egalit e dans la relation de Kodaira : ....

....de E=G est donn ee par l equation : Y 2 a 1 XY a 3 Y = X 3 a 2 X 2 (a 4 Gamma 5t)X a 6 Gamma b 2 t Gamma 7w: 3. M ethodes utilis ees 3.1 Recherche directe. Soit E une courbe elliptique ayant P 0 pour point de torsion d ordre m 2. D apr es le th eor eme de Mazur (voir [8]) m 2 f2; 3; Delta Delta Delta ; 10; 12g. D autre part, ces courbes d ependent de plusieurs param etres (voir [8] 9] ou [10] mais on peut les ramener a deux param etres s et t : E(s; t) y 2 a 1 (s; t)xy a 3 (s; t)y = x 3 a 2 (s; t)x 2 a 4 (s; t)x: 3) COURBES ....

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.... Delta 5 Delta 29 2 Delta 37 3 529364550 2 0:4682 Theta 10 Gamma5 0:8653 152 2 1:0004 Gamma5 10 Delta 11 4 Delta 13 32 7. Appendice On donne dans cette partie l expression g en erale des courbes elliptiques d efinies sur Q, suivant la forme de leur sous groupe de torsion (voir [16], 20] ou [25] Les param etres u et v repr esentent des rationnels pour lesquels le discriminant correspondant n est pas nul. Ces discriminants peuvent etre non minimaux. 1. Courbes de sous groupe de torsion de la forme Z=2Z Theta Z=8Z, E 2 Theta8 : Y 2 = X(X 16u 4 v 4 ) X (u 2 ....

D. Husemoller, Elliptic Curves, Graduate Texts in Math., vol. 111, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1986.

....E q (k) and k = q , where q is the subgroup of k generated by q are isomorphic. For the proof see [14] p.356. Proposition 11 If Ejk has non split multiplicative reduction, then [E(k) E 0 (k) 1; if v k ( Delta(E) is odd; 2; if v k ( Delta(E) is even: For the proof see [15], p. 266. Proposition 12 If E has additive reduction, then [E(k) E 0 (k) 4. Moreover, if k is non dyadic and one is either in the split or in the semi split case, then [E(k) E 0 (k) 6= 3. Proof. The first statement is a part of Kodaira Neron theorem. To prove the second, let us use the ....

Husemoller D.: Elliptic Curves. Graduate Texts in Math.111, Springer-Verlag, 1986..

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, Elliptic Functions, Graduate Texts in Math., vol. 112, 2nd edition, Springer -Verlag, New York, 1987.

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