An extension of the exponential formula in enumerative combinatorics (1996) [3 citations — 0 self]
Abstract:
En hommage à Dominique Foata, à l’occasion de son soixantième anniversaire. Let α be a formal variable and Fw be a weighted species of structures (class of structures closed under weight-preserving isomorphisms) of the form Fw = E(F c w), where E and F c w respectively denote the species of sets and of connected Fw-structures. Multiplying by α the weight of each F c wstructure yields the species F w (α) = E(F c αw). We introduce a “universal ” virtual weighted species, Λ (α) , such that F w (α) =Λ (α) ◦ F + w, where F + w denotes the species of non-empty Fw-structures. Using general properties of Λ (α) , we compute the various enumerative power series G(x), � G(x), G(x), G(x; q), G〈x; q〉, ZG(x1,x2,x3,...), ΓG(x1,x2,x3,...), for G = F w (α),intermsofFw. Special instances of our formulas include the exponential formula, F w (α)(x) =exp(αFw(x)) = (Fw(x)) α, cyclotomic identities, and their q-analogues. The virtual weighted species, Λ (α),is,infact,anew combinatorial lifting of the function (1 + x) α. Résumé Soit α une variable formelle et Fw une espèce de structures pondérée (classe de structures fermée sous les isomorphismes préservant les poids) de la forme Fw = E(F c w), où E et F c w désignent respectivement l’espèce des ensembles et celle des Fw-structures connexes. En multipliant par α le poids de chaque F c w-structure, on obtient l’espèce Fw (α) = E(F c αw). Nous introduisons une espèce virtuelle “universelle”, Λ (α) , telle que Fw (α) =Λ (α) ◦ F + w,oùF + w désigne l’espèce des Fw-structures non-vides. En faisant appel à des propriétés générales de Λ (α) , nous calculons les diverses séries formelles énumératives G(x), � G(x), G(x), G(x; q), G〈x; q〉, ZG(x1,x2,x3,...), ΓG(x1,x2,x3,...), de G = Fw (α), en fonction de Fw. Comme cas spéciaux des formules que nous développons, on retrouve la formule exponentielle, Fw (α)(x)=exp(αFw(x)) = (Fw(x)) α, les identités cyclotomiques, ainsi que leurs q-analogues. L’espèce virtuelle pondérée, Λ (α) , est, en fait, un nouveau relèvement combinatoire de la fonction (1 + x) α. 1
